Wie groß ist die größte Zahl, die mit drei Ziffern geschrieben werden kann?

1. Erster Lösungsversuch

natürlich   999   oder   9·9·9 = 729   oder   9·99 = 891
aber alle Zahlen sind kleiner als Tausend.
Es geht noch viel größer!!

2. Mathematische Hilfsmittel:

Potenzen am Beispiel der Zweier-Potenzen:               (siehe auch Hyperpotenzen)
8 = 2·2·2 = 23     16 = 2·2·2·2 = 24

und der Zehner-Potenzen:
1000 = 10·10·10 = 103     100 = 10·10 = 102

Zehnerpotenzen und Komma-Verschiebung:
1,23456·1000 = 1 234,56     1,23456·104 = 12 345,6

wissenschaftliche Notation / technischen Notation:
100 = 1 (merkwürdig, aber nachvollziehbar)      103 = 1 000 = Tausend
106 = 1 000 000 = Million      109 = 1 000 000 000  = Milliarde
1012 = 1 000 000 000 000 =  Billion *)      1015 = 1 000 000 000 000 000  =  Billiarde
1018 = 1 000 000 000 000 000 000  = Trillion      1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000  = Trilliarde
und so weiter *) beachte Unterschied zw. USA und Kontinentaleuropa!!

3. Neuer Lösungsversuch (ganz "ohne" Rechenzeichen, nur die drei Ziffern Neun):

wenig groß:
999

sehr groß:
999 = 99·99·99·99·99·99·99·99·99 = 9,1352… ·1017
9-mal der Faktor 99 Komma um 17 Stellen
nach rechts!

noch viel größer:
999 = 9·9·9·9·9·9·9·…·9·9·9·9·9·9 = 2,9513… ·1094
99-mal der Faktor 9 Komma um 94 Stellen
nach rechts!

Bis dahin kann der Taschenrechner locker rechnen, aber es geht noch größer:

"saumäßig groß" (wie wir noch sehen werden):
999         ((auch geschrieben als Hyperpotenz 9^9^9 = 9^^3))     Hilfszahl:   99 = 3,8742… ·108
Hier muss aber noch festgelegt werden, in welcher Reihenfolge potenziert werden soll
(Erweiterung der "Vorfahrtsregel"):

"Vorfahrtsregel" so?

(99)9 = (99)·(99)·(99)·(99)·...·(99)
= 99·9 = 981
= (3,8742...·108)9 = 3,8742...9·(108) 9
= 1,9663...·105·1072 = 1,9663...·1077
also noch nicht besonders saumäßig groß, s.o.

 oder so?

9(99) = 93,8742… ·108
Das sind über 387 Millionen Neunerfaktoren.
Wären es so viele Zehnerfaktoren, hätte die Zahl über 387 Millionen Stellen, so hat sie nur über 369 Millionen Stellen, wie wir leider erst in Kl. 10 berechnen können (Logarithmen!). Und das ist sehr saumäßig groß!! Nennen wir diese Zahl also SMG.

 

Wie groß ist SMG praktisch

1. Wenn ein Mensch alle Stellen dieser Zahl SMG hinschreiben müsste, wie lange wäre er beschäftigt?

Rechne mit normalen "Arbeitsjahren".

Pro Minute 20 Ziffern, pro Stunde 1 200 Ziffern, pro Arbeitstag (8 Std.) 9 600 Ziffern, aufgerundet 10 000 Ziffern.
Pro Arbeitsjahr (365 - 104 - 30 - 13 = 218) mit ca. 220 Arbeitstagen ergibt das 2 200 000 Ziffern, also ca. 2 Millionen Ziffern (= 2·106) pro Arbeitsjahr!
Somit sind es über (369·106)/(2·106) Jahre = 184,5 Jahre.

2. Wie hoch wäre der Stapel DIN-A4-Papier, wenn die Zahl SMG mittels Laserdrucker gedruckt werden würde?

Pro Din-A4-Seite 60 Zeilen à 80 Ziffern, also 4 800 Ziffern, gerundet 5 000 Ziffern.
Somit 10 000 Ziffern pro Blatt = 104 Ziffern/Blatt.
10 Blätter sind ca. 1 mm dick, also 10 Blätter/mm = 10 000 Blätter/1 000 mm = 104 Blätter/m = 104·104 Ziffern/m = 108 Ziffern/m = 100·106 Ziffern/m = 100 Millionen Ziffern/m. Also ist der Stapel 3,69 m hoch.

3. Wie groß ist SMG wirklich

Bisher haben wir nur mit den Ziffern von SMG gespielt. Und SMG selbst?
Betrachten wir die Strecke der Länge SMG Meter.

Vergleiche mit Entfernung Erde-Sonne, Durchmesser der Milchstraße, Durchmesser des Universums!

Entfernung Erde - Mond ca. 380 000 km = 380·103·103 m = 380·106 m, also knapp 400 Millionen m
Die Strecke SMG m würde dann dem (SMG m/380·106 m)-fachen der Entfernung Erde-Mond entsprechen.
Diese Zahl ist aber nur um ca. 8 Ziffern kürzer als SMG, also immer noch über 369 Millionen Ziffern lang!

Entfernung Erde - Sonne ca. 150 Millionen km:
das sind 150·106·103 m = 150·109 m = 150 Milliarden m (nur!).

Durchmesser der Milchstraße (unsere Galaxis) ca. 100 000 Lichtjahre = 105 Lichtjahre.

      Lichtgeschwindigkeit: 300 000 km/s = 3·105 km/s = 3·105·60·60·24·365 km/Jahr = 9,4...·1012 km/Jahr,
      also gilt 1 Lichtjahr = 9,4...·1012 km, d.h. knapp 10 Billiarden m.

Somit Durchmesser der Milchstraße: 105·9,4·1012 = 9,4·1017 km = 9,4·1017·103 m = 9,4·1020 m,
das ist knapp 1 Trilliarde m.

Durchmesser des Universums: knapp 100 Milliarden Lichtjahre = 1011 Lichtjahre = 1011·9,4·1012·103 m =
9,4·1026 m, also knapp 1 Quadrilliarde m.

Wieviele Universen (nebeneinander) braucht man dann für die ganze Strecke???

 

Meter ist, kosmologisch gesehen, eine recht willkürliche Einheit. Betrachten wir daher lieber die Länge einer Kette aus SMG hintereinander gelegten Atomen. Ein Atom ist im Mittel ca 10-10 m groß (mit Atomhülle), der Kern (also ohne Hülle) ist ca. 10-14 m groß (der Raum dazwischen ist leer).

Dumm ist nur, dass es für unsere Kette im ganzen Universum nicht genügend viele Atome gibt, denn:

Das Universum besteht nur aus 1079 Teilchen (Einstein/Eddington) und ist somit auch ziemlich leer.

Dietrich Tilp   17.03.07 / 14.10.07